(四星难题)圆内四边形-类等角线问题

首先感谢昨天本人开公众号以来，各位老师、家长、朋友的大力支持，龙神不吝题目，感谢感谢~坚持做点有意义的事情，还望各位多多指教，多搞一点训练效果好的高质量题目和解答（大部分非原创）；

本题由河南一位老师 @臻晟数理 提供，题目有一定难度，最后找到两种几何证法，分别是由学生陈正佺，牛少明和大佬陈舜给出；

题目标签：圆内接四边形+中垂线+共圆类-证垂直(平行)；

题目如下：

（练习留白）

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（练习留白）

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证法一：（陈正佺+牛少明）

先做个铺垫，转化一下命题；

重新构图：

过O做OM⊥EF，延长DM交AB于L，

下证D、G、L、C四点共圆即可；

延长CG、DL交圆于XY；

则只需要证明XY∥AB，

即证∠ACG=∠BDL即可；

回到原图，倍长DM到K，延长OM交DB于N

于是得到平行四边形DOKN；

进而∠BOK=∠OBD=∠ODB；

结合OB=OD，OK=DN

得到△BOK≅△ODN

结合O、M分别在AB与GB中垂线上

⇒KB=ON=AG且∠DNO=∠BKO

连接EK，

有∠EGB=∠ENO=∠BKO

因此∠EGA=∠EBK

结合EG=EB，AG=BK

⇒△EAG≅△EKB

⇒△EAK∼△EGB

显然有△DAE∼△CBE，

故EDAK∼EGBC

因此得到△EDK∼△EGC

因此∠EDL=∠ACG

故证毕！

证法二（陈舜）

先证明一个引理：

完全四边形ABCDEF中BCEF四点共圆,

P为其密克点,则OP⊥AD

引理的证明：

先说明ADP三点共线,

在(BCD)中AB·AC=AD·AP

在(FDE)中AF·AE=AD·AP’

而AB·AC=AF·AE，故PP’重合；

设X在AP延长线上，

则∠CPE=∠CPX+∠EPX

            =∠CBD+∠EFD

            =∠COE

故COPE四点共圆；

因此∠OPX=∠OPC+∠CPX

                =∠OEC+∠CBD

                =90°

故引理证毕！

回到原题：

设(CDE)与DL交于点P则

∠EPL=∠ECD=∠EBG=∠EGL

⇒E、P、G、L四点共圆；

根轴得DC、PE、AB交于一点T

由引理得P为密克点且OP⊥TP；

下面导角证明OPEM四点共圆即可：

(CDG)分别交AC、BD于H、I，

容易得到HI∥AB

∠PME=∠LMF=90°-∠DCG

∠PEG=∠PEA+∠AEG

         =∠PDC+(∠EGL-∠CAB)

         =(∠PDC-∠CDB)+∠EPL

         =∠LDI+∠ECD

         =∠DCG   (因为HI∥GL)

因此∠POE=∠PME

故POME四点共圆

⇒OM⊥EF

证毕！

（小心翼翼的轮到我点评）

方法一是间接证明，仅用相似全等，更有高联解答的味道，也能看出相比于利用共圆，这两位学生更喜欢证明共圆；

方法二舜神敏锐的捕捉到OE的特点，联想到密克点的做法，

思路简洁：密克点+导角证共圆；

如果对密克点引理有积累的同学这种方法就应运而生了！

（导角应该可以简化，自己试试吧！）

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